Русский композитор и пианист. Родился 18 (30) ноября 1859 в Ярославле в семье ученого-астронома (старший брат – Александр Ляпунов – математик, член-корреспондент АН СССР; младший брат – Борис Ляпунов – филолог-славист, академик АН СССР). В 1873–1878 занимался в музыкальных классах при Нижегородском отделении Императорского русского музыкального общества у известного педагога В.Ю.Виллуана. В 1883 окончил Московскую консерваторию с золотой медалью по классам композиции С.И.Танеева и фортепиано П.А.Пабста. К началу 1880-х годов относится страстное увлечение Ляпунова произведениями авторов Могучей кучки, в особенности М.А.Балакирева и А.П.Бородина. По этой причине он отклонил предложение остаться преподавателем Московской консерватории и с осени 1885 переселился в Петербург, став самым преданным учеником и личным другом Балакирева.

Это влияние наложило печать на все композиторское творчество Ляпунова; оно прослеживается как в симфоническом письме композитора, так и фактуре его фортепианных произведений, продолжающих специфическую линию русского виртуозного пианизма (культивированная Балакиревым, она опирается на приемы Листа и Шопена). С 1890 Ляпунов преподавал в Николаевском кадетском корпусе, в 1894–1902 был помощником управляющего Придворной певческой капеллой. В дальнейшем выступал как пианист и дирижер (в том числе за рубежом), редактировал вместе с Балакиревым наиболее полное для того времени собрание сочинений Глинки. С 1908 был директором Бесплатной музыкальной школы; в 1910–1923 – профессор Петербургской консерватории, где вел классы фортепиано, а с 1917 также композиции и контрапункта; с 1919 – профессор Института истории искусств. В 1923 выехал на гастроли за границу, провел несколько концертов в Париже.

В творческом наследии Ляпунова основное место занимают сочинения оркестровые (две симфонии, симфонические поэмы) и в особенности фортепианные – два концерта и Рапсодия на украинские темы для фортепиано с оркестром и множество пьес разных жанров, часто объединенных в опусы-циклы (прелюдии, вальсы, мазурки, вариации, этюды и т.д.); он создал также немало романсов, преимущественно на слова русских поэтов-классиков, и ряд духовных хоров. Будучи членом Русского географического общества, композитор в 1893 ездил с фольклористом Ф.М.Истоминым в ряд северных губерний для записи народных песен, которые были опубликованы в сборнике Песни русского народа (1899; впоследствии композитором сделаны обработки ряда песен для голоса с фортепиано). Стиль Ляпунова, восходящий к раннему (1860–1870-х годов) этапу Новой русской школы, несколько анахроничен, но отличается большой чистотой и благородством.